Эти слова встречаются довольно часто как в устной, так и в письменной речи. При этом, чтобы не допустить лексической или орфографической ошибки, следует учитывать разницу в семантике данных наречий и принимать во внимание несколько несложных правил.

Для начала обратим внимание на правописание. Согласно «Справочнику по русскому языку: орфография и пунктуация» Д. Э. Розенталя, наречия с предлогом-приставкой в- и конечным слогом -ку пишутся слитно: двигаться вперебежку, соединить впритирку, плясать вприсядку, пить чай вприглядку, ударить вразмашку, курить взатяжку….

«Держась за руки и не оглядываясь, они, почти сообщники, миновали вперебежку проходной церковный двор, и потом сердцебиенье заставило их переждать некоторое время на паперти, когда совсем невдалеке взвился пронзительный свист…» (Л. Леонов).

У правила есть исключения: раздельно пишутся слова в насмешку, в рассрочку, в диковинку и наречные сочетания, в которых сущ. начинается с гласной (взять в охапку, юбка в обтяжку, плыть в одиночку, сидеть в обнимку и др.).

«Отдушина — это когда ты сам по себе. Отдушина — это в одиночку. Но не в одиночестве...» (В. Маканин).

Итак, в соответствии с указанным выше правилом, наречия вперемежку и вперемешку пишутся слитно. Теперь рассмотрим различия в их семантике. Многие носители русского языка не видят смысловой разницы между этими наречиями, меж тем именно от их лексического значения будет зависеть выбор между буквами Ш и Ж при написании.

Наречия образованы от разных глаголов: часто встречающегося перемешать и реже употребляемого перемежать («Он умел в «историях» перемежать грустное и трагическое с неожиданными юмористическими отступлениями». Л. Гурченко). Первый имеет значение «нарушить порядок в расположении многих предметов», «соединяя что-либо разнородное, смешивать вместе, в одно», а второй – «сменять кого-либо, что-либо кем-либо, чем-либо, чередуя одно с другим».

Выходит, что омофоны вперемежку и вперемешку только звучат одинаково, но семантику и написание имеют различные. Если коротко, то вперемешку – «беспорядочно перемешиваясь, смешиваясь», а вперемежку – «перемежая, чередуя одно с другим».

«Здесь русские и французы лежали рядом и вперемешку, в одних рубашках и нижнем платье, без обуви» (М. Филиппов).

«Эта бесконечная болтовня вперемежку с громким хохотом и выразительными жестами утомила Андрея Ефимыча» (А. Чехов).

Следует обратить внимание еще на один нюанс, связанный с употреблением этих наречий: в современных толковых словарях они имеют помету «разгов.», следовательно, их использование допустимо в неформальной речи, художественных текстах, но не в официальном общении или деловой переписке.